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    2021大學生村官行測備考:“六字口訣”巧解“另類”和定最值問題

    2020-12-08 11:42:36   來源:中公教育 袁鑫  

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    【例】共有100個人參加某公司的招聘考試,考試內容共有5道題,1-5題分別有80人,92人,86人,78人和74人答對,答對了3題和3道以上的人員能通過考試,請問至少有多少人能通過考試?

    初讀這道題,其實很少有同學能反應過來是和定最值問題,我們來看一下它的問題,“至少有多少人能通過考試?”而總人數是100人,即通過與不通過總共100人,所以它還是兩個數加和固定,求某個量的最小值的問題。當然,通過讀題我們發現這道題目也是容斥問題的一種。但是都不是很好去解出答案來。那現在我們不妨把要求的能通過考試的人數設為x,沒通過的人數設為y,那么就有x+y=100 ,如果此時我們能再列出一個關于x、y的方程并且把它們解出來就完美了,我們再看一看其他的條件,答對3、4、5道題目的人能通過考試,反過來答對0、1、2道題目的人不通過,而答對的題目總數為80+92+86+78+74=410道,所以可以列式為(3,4,5)x+(0,1,2)y=410 ‚,此時要怎么做才能得到x的最小值呢?這里老師就要給大家介紹“六子口訣”了,叫做:“小系數,同方向”。具體什么意思以及如何操作呢?

    第一點,小系數,小系數指的是x,y兩組未知數前的系數相對小的,很顯然這里應該是(0,1,2)。那么到底取0還是1還是2呢?我們看第二個點,同方向。問題中求的是x的最小值,因此y的值就要最大,因此y的系數也取相對大的2。再看x的系數,在(3,4,5)中怎么確定呢?這里告訴大家,要跟y同方向確定,即取相對最大的5。因此方程組可以重新轉化成

    ,解得x=70,所以至少有70人能通過考試。

    總結一下,“小系數,同方向”中小系數,指的是從兩組系數中相對小的一組入手;同方向有兩層內容,第一層指的是若所求為最大值,小系數的幾個值中取最大的,若所求為最小值,小系數的幾個值中取最小的;第二層指的是另一個未知數系數大小的確定與小系數方向一致。

    那為什么有這樣一個“六字口訣”呢?它其中所包含的原理是什么呢?我們來探究一下。

    對于

    ,要求x最小,由式可得y=100-x,將式代入‚式可得:(3,4,5)x+(0,1,2)(100-x)=410,也就是(3,4,5)x+(0,1,2)×100-(0,1,2)x=410,所以

    ,要想讓x最小,則分子要可能小而分母要盡可能大,當100前面的乘數取2的時候,分子有最小值。既然取了2,那分母第二個括號里就已經確定是2了,要想讓分母大那么第一個括號里就應該取最大的5,最后求得x=70。相比于原理,是不是用小系數,同方向要更加簡單呢?

    清楚了“小系數,同方向”的技巧和原理,下面我們來看兩個例題應用一下。

    例.書法大賽的觀眾對5幅作品進行不記名投票。每張選票都可以選擇5幅作品中的任意一幅或多幅,但只有在選擇不超過2幅作品時才為有效票。5幅作品的得票數(不考慮是否有效)分別為總票數的69%、63%、44%、58%和56%。問本次投票的有效率最高可能為多少?( )

    A:65% B:70% C:75% D:80%

    【答案】B

    【中公解析】不妨設參與投票的觀眾總人數為100人,則5幅作品的得票數(不考慮是否有效)分別為69、63、44、58和56,這幾個數字的和為290,即5幅作品的總得票數為290,而總共有100人參與投票,可根據等量關系列式求解,投票情況分為有效票和無效票,其中投1幅或2幅作品的票為有效票,投3幅或4幅或5幅作品的票為無效票,設有效票為x,無效票為y,可列出等式:

    根據 “小系數,同方向”,即未知數的系數的選擇與小系數對應的未知數的極值取值方向一致,x的系數(1,2)比y的系數(3,4,5)要小,所以x與y的系數選擇與x的極值取值方向一致。題目要求投票的有效率最高,即有效票數x最大,所以x與y的系數分別取系數范圍中的最大值,x的系數取2,y的系數取5,由此得到2x+5y=290,再結合第一個方程,通過簡單的代入消元即可確定x=70,所以有效票最多為70票,而此時總投票人數設為了100人,即投票的有效率為70%。

    以上就是中公教育老師為廣大考生整理的另類和定最值問題的解題方法,希望考生在平時勤加練習,這樣才能在考試中熟練應用,提高做題速度,增加答題準確率!

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